Fondamenti della meccanica atomica
Una radiazione non monocromatica sarà rappresentata da una somma di termini del tipo (55) (con diverse λ e quindi diverse k e v) ognuna
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La quantità |A2dk rappresenta l'intensità luminosa corrispondente all'intervallo dk dello spettro continuo: quindi la funzione |A(k)|2 rappresenta la
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coll'allontanarsi da esso: quindi A(k) sarà rilevante solo per i valori di k prossimi a k0 e per essi il secondo termine sarà trascurabile rispetto al
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(1) Poichè supponiamo di osservare solo le onde «progressive», consideriamo solo i valori positivi di k.
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È naturale intanto definire come centro della riga spettrale il «baricentro» dell'intensità, cioè il valore k di k definito da
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Sostituendo nella (69) l'espressione così trovata per l'integrale rispetto a k, essa diviene
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L'integrale rispetto a k si può ottenere osservando che la (67), per la (58), si può scrivere
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frequenze comprese in un piccolo intervallo, ossia che A(k) si possa ritenere diverso da zero solo per k compreso entro un piccolo intervallo . Potremo
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ovvero, introducendo, invece di λ, il numero d'onde k = 1/λ, e ponendo
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Conviene considerare kx,ky, kz come componenti di un vettore k (vettore di propagazione) che rappresenta col suo modulo k il numero d'onde 1/λe colla
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dove v è funzione in generale di kx,ky, kz, ovvero, se il mezzo è isotropo come supporremo, solo di k.
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con K costante arbitraria. La (118) diviene allora,
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con k costante: essa è l'equazione studiata nel § 8 ed ha per integrale generale
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(con k' e reali) e scriveremo la (174') nella forma
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con k' e reali. Perciò la (199) diverrà
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e di posizione totalmente indeterminata. Esprimendo nella (210) k e v mediante p, essa diviene
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Conviene (come al § 15), introdurre il vettore k di componenti (e quindi di modulo k) ed il vettore r avente l'origine nell'origine degli assi e
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Questa formula coincide con la (78') del § 15: come si è visto, essa rappresenta un treno d'onde piane avente per «vettore di propagazione» k, quindi
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Cenno sui polinomi di Laguerre. — Il polinomio di Laguerre di grado K, che si indica con , è definito mediante la formula
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Sostituendovi la u(K) ricavata da (275'), si ottiene l'equazione caratteristica del K-esimo polinomio di Laguerre:
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(dove denota, come faremo sistematicamente, la derivata K-esima di u), si ha, con una prima derivazione della (276),
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Si noti che per j > K il polinomio è identicamente nullo.
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Questa funzione è evidentemente un polinomio di grado K — j, e si chiama talvolta «polinomio generalizzato di Laguerre»: esso è definito da
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perciò, se si definisce un nuovo numero quantico (non negativo) k, ponendo
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ossia: il momento angolare totale è multiplo intero di . Il numero quantico k che misura questo momento angolare in unità nella antica teoria di Bohr
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Di solito si usano i due interi k ed n (anzichè k ed n') per caratterizzare l'orbita.
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Si osservi che k è sempre minore od al più uguale ad n, poichè n' non può essere negativo: si ha k=n, cioè n'=0, nel caso delle orbite circolari
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Riassumendo, fissato n, il quanto azimutale k può assumere solo gli n valori
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cioè ritenere p misurato (in unità quantistiche) da l anzichè da k: la (329') dà un'approssimazione un po' migliore della (329), e per k = 1 dà
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(in unità )non da k ma da ossia ovvero . In particolare, per k = 1 dovrebbe risultare p =0 mentre la (329) dà .
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(1) Si osservi che ha ancora il significato di momento angolare totale del sistema: perciò il quanto azimutale k conserva il suo significato .
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k= 1 2 3 4 5 6...
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a) Ogni numero k si può riguardare come un operatore, perchè premesso ad una f(x, y, ...) la muta nel prodotto kf(x, y, ...). Ciò vale, naturalmente
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La moltiplicazione di una matrice per una costante k si esegue moltiplicando ogni elemento della matrice per k: anche questo risulta immediatamente
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(65) si riduce a un sistema di tre equazioni lineari ed omogenee nelle tre incognite (si potrebbero scrivere tre di tali sistemi, corrispondenti a k
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ossia, uguagliando l'elemento generico (m, k) nei due membri,
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Fissiamo k, e diamo ad m i successivi valori 1, 2, ...: avremo le equazioni
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ma, essendo la prima sommatoria si riduce al solo termine in cui r = k, cosicchè l'equazione diviene
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ovvero, indicando con l' operatore di LAPLACE relativo alla particella k-esima,
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Ricordiamo dal § 12 che, in particolare, la matrice che nello schema K rappresenta l'osservabile K, cioè la stessa che serve a definire lo schema, è
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e, per k ed l qualunque
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Ora, la relazione di permutazione (156) dà, in particolare, per un elemento diagonale (j = k),
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da cui si vede che gli elementi sono tutti nulli, tranne al più quelli i cui indici j, k sono tali che
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(165) semplicemente cambiando k in k - 1: quindi
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e per k = 1, 2, ...
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poichè la (185) si può scrivere (cambiando l'indice k in l)
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) per k = i. Difatti, indicando con , i termini del secondo ordine, e trascurando quelli d'ordine superiore, cioè ponendo , la (209) dà, per k = i,
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dove K è un'altra costante caratteristica di ciascuna successione.
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Moltiplichiamo l'equazione diDirac(271) per (a sinistra), e poniamo (k =1, 2, 3):
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dove i coefficienti sono ricavati dalle (185'), che nel caso attuale si scrivono, prendendo k = 1 (per k = 2 si avrebbe un sistema equivalente):
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Accademia della crusca
